推測ばかりになってしまってよくないので前回で終わるつもりでしたが、最後に少しだけ気になったことを書かせていただきますね。
小学校高学年で、お小遣い帳を元に計画的に買い物をするというのは、まだ難しいかもしれません。勉強などはしっかりやってらっしゃるお子さんだと思うので、計算して書くことは問題なくできるでしょうが、お子さんの様子を聞いていると、むしろお小遣い帳の残高を増やすことが目標になってしまっているのではないかと想像してしまうのですが…。また、これも想像でしかないのですが、盗みをした時点では、その後どのようなことが起こるか（お母さんを泣かせることになるとか）が、あまり想像できていなかったのではないかという気がします。自分の言動が相手や周囲にどういう影響を与えて、それがどう自分に返ってくるのか、私たちは自然と考えて行動を選択していきますが、中にはそういうことが苦手で、実際にやってみて痛い目にあうことで学んでいく必要のあるお子さんもいると思います。もしそうなら、今のように、問題が起こる度に対処して教えていく、という方法にならざるを得ないかもしれませんね。しばらくの間、ご両親はとても大変だと思いますが…。
どちらにしても、他の方もおっしゃっているように、とりあえず専門家の方に相談される方が良さそうです。いい方向性が見つかりますように。

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発達障害という言葉は日本ではかなり普及していると思います（ネットでもすぐにヒットします）が、あまりご存じないということは、ずっとこちらで子育てをされてきたのでしょうか？国が違うと、基本的な常識も変わってきますし（私もフランス人の行動に時々驚かされますし）、フランスの現地校では、人のモノを持って行ってしまう子供もよくいると聞きます（アフリカや南米の国では、置いてある・落ちているものは誰のモノでもないので持って行っても構わない、というような感覚の国もあるようです）。クラスメートの中にそういう子供がいれば、お子さんも「自分もやっていいだろう」と思ってしまうことはあるかもしれませんね。どちらにしても、専門家に相談することが解決への糸口になる可能性はあると思います。ただ、国による感覚の違い、カウンセラーとの相性などもありますので、ご自身の感覚や子育て方針に反することを言われることもあるかもしれません。専門家がすべて正しいわけではないと思いますので、糸口がつかめれば、くらいの気持ちで行くのがいいかなと個人的には思います。
お金の自己管理をさせるというのは一つの方法だと思います。ただ、始める前に、お小遣いの使い方がこれまでどうだったかのか、という点が気になります。お小遣いでは買えない高価なものだから盗んでしまっていたのか、それとも欲しいものを順に買って足りなくなった結果なのか等々。お小遣いの管理ができていなかったのなら、より大金を管理させるのは難しいのではないかと思うのですが…。お金の大切さを教えるなら、例えばお手伝いの対価（足りない金額に見合った労力の）として足りないお金を渡すという方法もあるかもしれません。また、お金の管理方法を具体的に教えて手伝うということが必要になる可能性もあります。試行錯誤していけば、そのうちお子さんにあったやり方が見つかると思いますし、もしかすると一過性のもので自然となくなる問題行動かもしれません。焦らずに、よく考えて、ご主人とも話し合っていかれますように（多分すでにそうしてらっしゃると思いますが）。よくよく考えて決めたことなら、たとえ結果がついてこなくても間違いではないと思います。

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あまり詳しいことがわからないので、一般論として書かせていただきます。
説明を読ませていただいた限り、ごく当たり前の育て方をされていると感じます。それなのに盗みという問題が起きてしまっているのですね・・・。
子供が何かを欲しいと思うことはごく自然な感情でしょうが、高学年にもなれば、盗むのは絶対にいけないことだという善悪判断・モラルが根付いていて、自分で欲求を抑えられるようになっていると思います。一般的に、モラルは日々の生活の中で周囲の人々から自然に取り込んでいくものですが、それが十分にお子さんの中に根付いていないのか、それとも、悪いということわかっていても、その場の衝動を抑えられないのか、または何かほかにストレスがあって、そのはけ口として出た行動なのか、またはそれ以外なのか…。
ただ、年齢からすると、盗んだ後にどういう問題が起こるのかは（見つかって叱られる、信用を失う等）想像できるようになってくる頃だと思いますが、お子さんの言い訳はかなりその場しのぎの印象を受けます。つまり、自分の行動が引き起こす事態を十分想像できない、先々の見通しを持つことが苦手、という可能性も考えられます。
盗みの問題は大きいですが、その他に、これまで育ててきて何か気になるようなこと（例えば他の人の気持ちを想像するのが苦手だとか、何かに対してこだわりが強かったとか、物事の順序づけ・優先順位が特徴的だとか…）はなかったでしょうか？
発達障害を持つお子さんの中には、先にあげたような特徴を持つお子さんもいらっしゃいます。あなたのお子さんがそうだとは言えませんが、問題の原因・本質を知るために、一度専門の方に相談されてもいいかもしれません。もし発達障害の傾向があるようなら、本人の特徴に応じた伝え方・行動コントロールのし方が必要になってきますし、またそうでないなら、盗みをしてしまうのには別の原因があるのかもしれません。
問題行動を無くすためには、どういう状況で、どういう理由でそれが起こっているのかをしっかり見極めることが必要だと思います。

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